Artikel url :
MAKALAH
ANALISA NUMERIK DAN KOMPUTASI
“PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR DAN NON LINEAR
DENGAN METODE NUMERIK”
Oleh :
KELOMPOK
PROGRAM
STUDI TEKNIK LINGKUNGAN
FAKULTAS
TEKNIK
2012
BAB I
PENDAHULUAN
Metode numerik mengkombinasikan dua
perangkat penting dalam implementasinya: matematika dan komputer. Fisika
komputasi memanfaatkan metode dan analisa numerik untuk menjelaskan fenomena
fisika, yang disandarkan pada azaz-azas dan hukum-hukum fisika. Dengan
perkembangan yang revolusioner komputer PC saat ini, dari sisi kecepatan
eksekusi data dan kontrol, space memori yang semakin besar, dan harga
yang semakin terjangkau, kehadiran komputer menjadi sangat essensial di dalam
aktivitas saintis. Bukan hanya hardware yang berevolusi secara dramatis, proses
pertumbuhan software juga bertransformasi secara radikal beberapa tahun
terakhir. Pemrograman komputasi numerik dalam skala besar pun sudah bukan hal
yang merepotkan lagi, seperti yang terjadi pada dekade awal dengan kendala
keterbatasan memori, dan eksekusi program yang amat lambat. Dalam melakukan
kegiatan komputasi numerik, berarti berinteraksi dengan alat (komputer yang
digunakan), metode (implementasi analisa numerik dalam program yang dimiliki),
dan teori (sifat unik dari kasus yang dihadapi).
Komputer
sebagai alat memiliki kemampuan:
1.
dapat
melakukan operasi penyimpanan karena ada memori,
2.
dapat
melakukan operasi-operasi tertentu atas data yang disimpan di memori;
3.
dapat
menyajikan kembali isi memori dalam media display menurut
format yang dikehenda ki.
Ketiga hal tersebut berkaitan erat
dengan data-programinformasi. Program adalah deretan operasi yang sengaja
ditulis untuk sebuah proses komputasi. Program adalah resep tentang bagaimana
komputasi itu harus dilaksanakan. Sebagai sebuah fakta tentang obyek komputasi,
program disimpan dalan memori komputer untuk dijalankan, yaitu membuat komputer
melaksanakan tiap operasi yang terdapat dalam program, satu demi satu, dari
operasi pertama, kedua dan seterusnya. Himpunan instruksi yang dimiliki atau
dikenal oleh komputer itulah yang disebut sebagai bshasa komputer atau bahasa
pemrograman komputer. Jadi kehebatan komputer pada akhirnya hanya terletak
dalam kemampuannya untuk membedakan apakah yang tersimpan dalam alamat atau address
A dalam memori adalah data untuk dioperasikan atau instruksi untuk
dilaksanakan, dan hanya merupakan pencerminan dari kemampuan manusia untuk
mengkomunikasikan keinginannya dalam wujud program untuk dilaksanakan komputer.Disinilah
peran algoritma, yaitu istilah baku untuk proses komputasi berulang untuk
memecahkan persoalan dalam dunia nyata yang rumusan matematikanya bersifat
eksplisit. Deskripsi harfiah langkah demi langkahnya adalah salah satu jalan
untuk mengekspresikan algoritma..Flowchart adalah visual atau grafik
representasi dari algortima, yang menggunakan deretan blok-blok dan panah, yang
masing-masing menyatakan operasi atau langkah operasi. Sedangkan, pseudocode
adalah kode (code) yang menjembatani gap antara flowchart dan
kode komputer, dan format penulisannya lebih de kat pada pemrograman komputer.
BAB II
TEORI DASAR
2.1 SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR
Dalam
usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan model dari suatu
persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x
sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam
model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh
penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu
memberikan solusi melalui analisis matematik.
Apa yang dimaksud dengan
menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti
mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika
dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval
[a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai tanda berbeda.
Gambar. 1
Dengan pembatasan interval
ini, secara cermat dapat dicari x =
yang memberikan
nilai f (
) = 0 sebagai berikut :
bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.
Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m
apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa
perbedaan tanda :
jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti
di [a,m]
jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti
di [n,b]
proses pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai
yang memberikan
f(
) = 0.
1. Metode Biseksi
Tahap pertama menetapkan nilai sembarang a dan b
sebagai batas segmen nilai fungsi yang dicari. Batasan a dan b memberikan hanya
bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b. Langkah selanjutnya adalah memeriksa apakah
f(a)*f(b) < 0. Bila terpenuhi berarti terdapat akar fungsi dalam segmen
tinjauan. Jika tidak kembali harus ditentukan nilai a dan b agar f (a)* f(b)
< 0 terpenuhi.
Dengan rumusan
, diperiksa apakah nilai mutlak f (m) < 10-6
(batas simpangan kesalahan), Jika besar nilai x = m adalah solusi yang dicari.
Jika tidak terpenuhi, ditetapkan batasan baru dengan mengganti nilai b = m
apabila f(a)*f(m) < 0, dan mengganti a = m bila f(a)*f(m) > 0.
Gambar. 2
Jika f(a) < f(b) dalam
nilai mutlaknya, maka akar persamaan akan terletak lebih dekat ke f(a), (lihat
gambar 2).
2. Metode Regulasi Falsi
Cara yang lebih efektif mendapatkan nilai m adalah
menghubungkan f(a) dan f(b) dengan garis lurus dan perpotongan garis dengan
sumbu x merupakan nilai m. Seperti pada gambar 3. Cara penetapan m ini dikenal dengan cara Regulasi
Falsi dan Algoritmanya sama dengan Metode Biseksi.
Gambar. 3
|
|
|
|
Gambar 4
Untuk menghindari masalah
yang mungkin terjadi pada prilaku persamaan yang tidak dapat dilacak, perla pembatasan
tinjauan interval sesuai dengan sifat fungsi. Hal ini penting dalam metode numerik untuk
memperoleh solusi nyata.
Contoh :
untuk mncari besaran x persamaan ini maka bentuk persamaannya diubah
menjadi
f (x) = tan x – 2x = 0
dengan mengabaikan akar x = 0 yang bukan solusi persamaan dasar, terlihat
bahwa Metode Biseksi dan regulasi Falsi tidak akan memberikan solusi. Karena
fungsi f(x) buka fungsi kontinyu untuk nilai kelipatan ganjil dari
( lihat gambar).
Gambar. 5
3.Algoritma Program Metode Biseksi
Tentukan a, b, toleransi dan jumlah iterasi
maksimum.
Periksa apakah f(a) x f(b) > 0, jika ya keluar dari program karena pada
solusi yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.
Hitung nilai m =
Jika nilai mutlak (b-a) < toleransi tuliskan m sebagai hasil perhitungan
dan akhiri program, jika tidak lanjutkan kelangkah selanjutnya.
Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum akhiri program.
Jika f(a) x f(b) < 0, maka b = m, jika tidak a = m
Kembali ke langkah c
4.Algoritma Program Metode Regulasi Falsi
Tentukan a, b, toleransi dan jumlah iterasi
maksimum.
Periksa apakah f(a) x f(b) > 0 jika ya keluar dari program
Hitung nilai m =
Jika nilai mutlak (m-a) < toleransi tuliskan m sebagai hasil perhitungan
dan akhiri program, jika tidak lanjutkan kelangkah selanjutnya.
Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum akhiri program
Kembali kelangkah c.
A.Flowchart Metode Biseksi
B. Flowchart Metode Regulasi Falsi
Sama dengan Flowchart Metode
Biseksi, kecuali pada langkah ke 6 digantikan dengan :
1. Program Metode Biseksi
soal: tan (x) – x
– 0,5 = 0
{Program Metode Biseksi}
Daftar Variabel
a =
batas bawah
b =
batas atas
tol =
toleransi
max-iter = jumlah iterasi maksimum}
Var
A, m, b, F_a, F_m, F_b, tol :
real;
Max_iter, it : integer;
Epsilon : real;
Function f(x : real) : real;
Begin
F : = sin (x) / cos (x) – x – 0,5;
End;
Begin
Write (‘batas bawah =
‘); read (a);
Write (‘batas atas = ‘); read (b);
Write (‘toleransi =
‘); read (tol);
Write (‘jumlah iterasi max = ‘); read (max_iter);
It : = 0;
F_a : = f (a);
F_b : = f (b) ;
If (f_a*f_b > 0) then writeln
(‘nilai F(a) x F(b) > 0 ‘);
Else
Begin
Write (‘It. a m b f(a) f(b)’);
Written (‘ abs [f(b) –
f(a)] / 2’);
Epsilon : = tol + 1
While ((it <
max_iter) and (epsilon > tol)) do
Begin
It : = it +
1;
m : = (a +
b) / 2 ;
F_m : = f
(m);
Write (it :
3,’ ‘, a : 8 : 5,’ ‘, m : 8 : 5,’ ‘,b : 8 : 5,’ ‘);
Writeln (F_a
: 8 : 5,’ ‘, F_m : 8 : 5,’ ‘, abs (F_b –
F_a) /2:4);
Epsilon : =
abs (m – a) ;
If (F_a *
F_m < = 0) Then
Begin
B
: = m ;
F_b : = F_m;
End
Else
Begin
a
: = m;
F_a
: = F_m ;
End;
End;
If (it < = max_iter)
then
Begin
Writeln
(‘Toleransi terpenuhi’);
Writeln (‘
hasil akhir = ‘, m : 9 : 7);
End
Else writeln (‘toleransi telah terpenuhi ‘);
End;
End.
Ambil :
Batas bawah = 0
Batas atas = 1
Toleransi = 0,0000001
Jumlah iter_max = 30
Program Regulasi Falsi
sama dengan Biseksi, hanya rumus menentukan m yang diganti seperti pada
Flowchart.
C. Metode Iterasi
Bentuk lain dari metode penentuan akar persamaan
adalah dengan memulai suatu perkiraan harga dari akar persamaan. Mulai x0
(perkiraan awal), x1, x2, .... xk, akhirnya
konvergen pada
, yaitu xk yang cukup dekat pada
sesuai dengan
tingkat kecermatan yang diinginkan. (metode iterasi tunggal).
Dalam hal ini fungsi f(x) ditulis sbb :
f (x) = x – g (x) = 0, sehingga
= g (
)
............... (1)
kemudian
xk+1 = g (xk), k = 0, 1, 2, ....... (2)
(1) dan (2) rumusan iterasi
Contoh
x3 – 3x – 20 =
0
solusi : rubah persamaan dalam bentuk f(x) = x – g(x) sebagai berikut
dengan empat cara :
1) x – (3x + 20)1/3 = 0 x0
= 10
2) x – (x3 – 20) / 3 = 0 x1
= 3,68
3) x – 20 / (x2 – 3) = 0 x2
= 3,14
4) x – (3 + 20 / x)1/2 = 0 x3
= 3,08
Rumusan pertama dapat dinyatakan sebgai berikut :
Xk+1 = (3xk
+ 20)1/3 , k =
0, 1, 2, ....
Perkiraan awal x0 = 5, diperoleh :
X0 = 5
X1 = (3*5 + 20)1/3
= 3,2771
X2 = (3*3,2771
+ 20)1/3 = 3,1008
X3 = (3*3,1008
+ 20)1/3 = 3,0830
X4 = (3*3,0830
+ 20)1/3 = 3,0811
X5 = (3*3,0811
+ 20)1/3 = 3,0809
X6 = (3*3,0809
+ 20)1/3 = 3,0809
X7 = (3*3,0809 + 20)1/3 =
3,0809
Karena x sudah konstan pada harga 3,0809
Secara grafik :
Dari ketiga persamaan untuk mendapatkan akar persamaan menghasilkan grafik
sebagai berikut :
Algoritma Program Iterasi
Tentukan x0,
toleransi, dan jumlah iterasi maksimum
Hitung xbaru
= g (x0)
Jika nilai (xbaru
– x0) < toleransi tuliskan xbaru sebagai hasil
perhitungan, jika tidak lanjutkan kelangkah berikutnya.
Jika jumlah
iterasi > iterasi maksimum akhiri program
X0 = xbaru
dan kembali kelangkah (b)
Flowchart
Program Iterasi
{Program
iterassi untuk fungsi
e^x
+ x^2 -3x - 2=0
x-(e^x+x^2-2)/3=0
dengan g(x)= (e^x+x^2-2)
Daftar Variabel
Xo = harga awal
tol = toleransi
max_iter = jumlah iterasi
maksimum}
Var
xo,xb,tol,x :real;
max_iter,it :integer;
epsilon :real;
function g(x:real):real;
begin
g:= (x*x+exp(x)-2)/3;
end;
Begin
write('harga awal
=');read(xo);
write('toleransi =');read
(tol);
write('jumlah iterasi max =');read(max_iter);
it:=0;
writeln(' it x g(x) f(x)
');
epsilon :=tol+1;
while(it<max_iter) and (epsilon>tol) Do
Begin
it :=It+1;
xb := g(xo);
epsilon := abs (x-xo);
writeln( it:3,' ',xo:8:5,' ',xb:8:5,'
',epsilon:4);
xo:=xb;
End;
if (it <=max_iter)Then
Begin
writeln ('Toleransi terpenuhi');
writeln('Hasil akhir =',xb:9:7);
End
Else writeln ('toleransi tidak terpenuhi');
readln;
End.
3.4 Metode Newton – Raphson
Metode yang lebih baik dalam memilih g’(x)
adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih , dan
dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap sumbu
diperoleh nilai x baru.
Dari diagram ini
terlihat tangensial (garis singgung) f(x) adalah :
sehingga
Contoh :
f (x) = x3 – 3x – 20
f’(x) = 3x2 – 3
dengan demikian
perkiraan awal x0
= 5
x0 = 5
x1 =
3,75
x2 =
3,2018
x3 =
3,0859
x4 =
3,0809
x5 =
3,0809
Konvergensi
Metode Newton – Raphson
Memperhatikan
rumusan
dan syarat
konvergensi [g’ (x) ] < 1
berarti :
Apabila nilai
turunan fungsi susah untuk dicapai, nilai ini dapat didekati dengan harga –
harga fungsi dari hasil dua tahapan proses sebelumnya.
Jika nilai xk
dan xk+1 telah didapat maka :
(jahiding : 2010)
Prinsip:
Buat garis singgung kurva f(x) di titik di sekitar akar fungsi. Titik tempat
garis singgung itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi. Dalam
melakukan penghitungan dengan menggunakan metode ini maka perhitungan dapat
dihentikan ketika kesalahan relatif semu sudah mencapai / melampaui batas yang
diinginkan ( fachrudin : 2009).
Algoritma Program Newton – Raphson
Tentukan x0,
toleransi dan jumlah iterasi maximum
Hitung xbaru
=
Jika nilai mutlak
(xbaru – x0) < toleransi tuliskan xbaru
sebagai hasil perhitungan, jika tidak lanjutkan kelangkah berikutnya.
Jika jumlah
iterasi > iterasi maksimum akhiri program
x = xbaru,
dan kembali ke langkah b
Flowchart
Flowchart Metode SECANT
{Program Iterasi untuk fungsi}
ex + x2 – 3x –
2 = 0
x – (ex
+ x2 – 2) / 3 = 0
dengan g (x) = (ex + x2 – 2)
/ 3
Daftar Variabel
X0 = harga awal
Tol = Toleransi
Max_iter = Jumlah iterasi maximum}
Var
X0, Xb, tol : real;
Max_iter, it : integer;
Epsilon : real;
Function g (x : real )
: real;
Begin
g : = (x*x + eps^x – 2) / 3;
end;
Begin
Write (‘,Harga awal =’); read (x0);
Write (‘,Toleransi =’); read (x0);
Write (‘,Jumlah iterasi max =’); rea (max_iter);
It : = 0 ;
Writeln (‘ it x g(x)
f(x)’);
Epsilon : = tol + 1;
While (it < = max_iter) and
(epsilon > tol )); do
Begin
It : = it + 1;
X0 : = g (x0);
Epsilon : = abs ( xb
– x0);
Writeln (it : 3,’ ‘,x0 : 8 : 5,’ ‘, xb
: 8 : 5,’’,epsilon : 4);
X0 : = Xb
;
End;
If (it < = max_iter) Then
Begin
Writeln (‘Toleransi
terpenuhi’);
Writeln (‘hasil akhir =
‘, xb : 9 : 7);
End;
Else writeln (‘ Toleransi tidak
terpenuhi ‘);
End.
Catatan
Ambil
Harga awal = 1
Toleransi = 0,0000001
Jumlah iterasi max = 20
{ Program Newton – Raphson}
Daftar variabel
X0 = Harga awal
Tol =
Toleransi
Max_iter = Maksimum Iterasi}
Var
X0, Xb, tol : real;
Max_iter, it : integer;
Epsilon : real;
Function f(x : real )
: real;
Begin
f : = x*x – 3*x + exp (x) – 2;
end;
function f1
(x : real) : real;
Begin
F1 : = 2*x-3 + exp (x);
End ;
Begin
Write (‘, Harga awal =’) ; read (x0);
Write (‘, Toleransi =’) ; read (tol);
Write (‘, Jumlah iterasi max =’) ; read (max_iter);
It : = 0;
Writeln (‘It x f(x) epsilon ‘);
Epsilon : = tol + 1;
While ( (‘ it < = max_iter) and
(epsilon > tol));
Do
Begin
It : = it + 1
Xb : = x0 – f(x0) / f1 (x0);
Epsilon
: = abs (xb – x0);
Writeln
(it : 3,’’,xb : 8 : 5,’’, f(xb) : 8 : 5,’’,epsilon : 4);
X0
: = xb ;
End;
If
( it < = max_iter) then
Begin
Writeln
(‘Toleransi terpenuhi ‘);
Writeln
(‘Hasil akhir = ‘, xb : 9 : 7);
End;
Else
writeln (‘Toleransi tidak terpenuhi ‘);
End.
2.2 SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
Bentuk Umum sistem persamaan liniear
dan linear
- Sistem
persamaan linear dengan 2 variabel / SPL 2 variabel
x dan y adalah variabel
Cara menyelesaikannya dengan :
a.
Metode
Eliminasi
b.
Metode
Substitusi
c.
Metode
Campuran Eliminasi dan Substitusi
d.
Metode
Grafik
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari
SPL berikut
1.
Eliminasi
y =
2
4x = 16
x =
4
2. Substitusi
Dari persamaan (1) y = x –
2 disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh
3x – 7(x – 2) = -2
3x – 7x + 14 = -2
-4x = -16
x = 4
Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)
4 – y = 2
y = 4 – 2
= 2
3. Campuran Eliminasi dan Substitusi
4y = 8
y =
2
y = 2 disubstitusikan ke persamaan
(1)
x – 2 = 2
x = 4
4.
Grafik
|
x – y = 2
|
|
3x – 7y = -2
|
|
-2
|
|
2
|
|
(4,2)
|
Dengan grafik dapat dilihat :
a.
Jika
kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan penyelesainnya tepat satu
anggota)
b.
Jika
kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian
c.
Jika
kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai anggota tak
terhingga)
2. Sistem persamaan linear dengan 3
variabel / SPL 3 variabel
x, y, z adalah variabel
Contoh : Tentukan himpunan
penyelesaian dari SPL berikut :
Dengan Metode campuran Eliminasi dan
Substitusi :
Misal dimulai dengan
mengeliminasi z
(1)
dan (2)
3x + 2y = 8 ..............................(4)
(1)
dan (3)
x - y = -2............................(5)
(4) dan (5)
x - y = -2 x 3
3x - 3y = -6
5y = 14
y
= 14/5
x - y = -2 x 2
2x - 2y = -4
5x = 4
x
= 4/5
x = 4/5 dan y = 14/5
disubstitusi ke persamaan (1) :
x + y – z = 3
4/5 + 14/5 – z = 3
18/5 – z = 3
z = 18/5 – 3
z = 3/5
Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}
1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
Bentuk
Umum :
y
= px + q
y
= ax2 + bx + c
p,
q, a, b dan c
R
Cara
menyelesaikannya :
1.
Substitusi
Substitusikan y = px +
q ke
y = ax2 + bx + c
Diperoleh :
px + q = ax2 +
bx + c
ax2 + (b-p)x +
(c-q) = 0
dengan D = (b-p)2
– 4.a.(c-q)
ada 3 kemungkinan himpunan
penyelesainnya :
a.
Jika
D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)
b.
Jika
D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
c.
Jika
D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2.
Grafik
Ada 3 kemungkinan :
|
D>0
|
|
D=0
|
|
D<0
|
Contoh :
Tentukan himpunan
penyelesian dari :
y = 2 –x
y = x2
jawab :
Substitusika y = 2 –
x ke
y = x2 diperoleh :
x2 + x – 2 = 0 D = (1)2 –
4.(1).(2) = 1 + 8 = 9
(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)
x = 1 atau x
= -2
x = 1 disubstitusikan ke y
= 2 – x = 2 – 1 = 1
x = -2 disubstitusikan ke
y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4
Jadi himpunan penyelesaian
{(1,1),(-2,4)}
Dengan grafik dapat digambarkan
sebagai berikut :
|
(-2,4)
|
|
(1,1)
|
2. SISTEM PERSAMAAN KUADRAT - KUADRAT
Bentuk
Umum :
y
= ax2 + bx + c
y
= px2 + qx + r
Cara
menyelesaikannya :
1. Substitusi
Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :
(a – p)x2
+ (b – q)x + (c – r) = 0 dengan
D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
Kemungkinan penyelesaiannya :
a.
Jika
D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)
b.
Jika
D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c.
Jika
D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
1.
Grafik
Dengan menggambar kedua
parabola dalam satu sistem koordinat
Contoh :
Tentukan himpunan
penyelesaian dari
y = x2
y = 8 – x2
Jawab :
Substitusikan (1) ke (2)
x2 = 8 – x2
2x2 – 8 = 0
x2 – 4 = 0
(x – 2)(x + 2) = 0
x = 2 atau x = -2
x = 2 diperoleh y = 22 = 4
x = -2 diperoleh y = (-2)2
= 4
Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}
|
y = x2
|
|
8
|
|
y = 8 - x2
|
|
(2,4)
|
|
0
|
|
(-2,4)
|
3. MERANCANG
MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN SPL
Contoh :
Sepuluh tahun yang lalu
umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang akan datang jumlah umur kakek
dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur nenek lebih muda 6 tahun dari kakek.
Berapa umur nenek sekarang.
Jawab :
Misal umur kakek sekarang adalah x
Umur adikku sekarang adalah y
Diperoleh persamaan :
a.
x
– 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50
.............. (1)
b. (x + 5)+(y + 5) = 93
x + y + 10 = 93
x + y = 83...................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
x – 6y = -50
x + y = 83
- 7y = -133
y = 19
x + y = 83
x = 83 – 19
= 64
Contoh :
Diketahui y = px – 14 dan y
= 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p supaya
a.
Berpotongan
di 2 titik
b.
Bersinggungan
c.
Tidak
berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :
y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12
diperoleh :
2x2 + 5x – 12 =
px – 14
2x2 + (5 – p)x
+ 2 = 0
D = (5 – p)2 –
4.2.2
= 25
– 10p + p2 – 16
= p2
– 10p + 9
a.
Berpotongan
di dua titik (D > 0)
p2 – 10p + 9 > 0
(p – 1)(p – 9) > 0
p < 1 atau p > 9
b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)
p2 – 10p + 9 = 0
(p – 1)(p – 9) = 0
p = 1 atau p = 9
c. Tidak
berpotongan dan menyinggung (D < 0)
p2 – 10p + 9 < 0
(p - 1)(p – 9) < 0
1 < p < 9
Tugas III
- Jika
jumlah dua bilangan adalah 67 dan selisihnya adalah 45. Tentukan
bilangan-bilangan tersebut
- Parabola
y = ax2 + bc + c melalui
titik-titik (1,1), (-1,-5), dan (3, 23)
Tentukan nilai a, b, c
3. Diketahui tiga bilangan a, b, dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan
tersebut adalah 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang
lainnya. Bilangan ketiga sam dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi 4.
Tentukan bilangan-bilangan itu
DAFTAR PUSTAKA
Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,
Jakarta :
PT. Galaxy Puspa Mega.
Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,
Jakarta : Penerbit Erlangga.
MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,
Semarang : CV. Jabbaar Setia.
Demikianlah Artikel Semoga berguna bagi anda yang ingin mencari
, mudah - mudahan bisa berguna bagi anda dan anda selalu mampir ke blog ini.
Anda sedang membaca artikel dan artikel ini url permalinknya adalah https://rischybanged.blogspot.com/2013/06/makalahanalisa-numerik-dan-komputasi.html Semoga artikel ini bisa bermanfaat.
kewyord Pendukung :
, teknik,
, teknik sipil,
, teknik industri,
, teknik mesin,
, teknik informatika,
, teknik sipil pdf,
, teknik lingkungan,
, teknik elektro,
, teknik kimia,
, teknik bangunan,
, teknik pangan,
, teknik listrik,
, teknik perminyakan,
, teknik sipil adalah,
, teknik pertambangan,
, teknik pendingin,
, teknik sipil terbaru,
, teknik komputer jaringan,
, teknik arsitektur,
, teknik komputer dan jaringan,
, teknik kelautan,
, teknik adalah,
, teknik arsitek,
, teknik alat berat,
, dasar teknik arsitektur,
, teknik industri adalah,
, teknik informatika adalah,
, ekonomi teknik adalah,
, teknik dalam al quran,
, teknik lingkungan adalah,
, teknik mesin adalah,
, material teknik adalah,cabang
, teknik arsitektur,
, mekanika teknik adalah,
, teknik pertanian adalah,
, komputer atau teknik informatika,
, komputer atau teknik komputer,
, komunikasi atau teknik informatika,
, kependudukan dan teknik analisis,
, teknik beton,
, bahan teknik mesin,
, bahan teknik,
, bahan teknik mesin download,teknik
, beladiri,
, bahan teknik sipil,
, bahan teknik mesin.pdf,
, bahan teknik perkapalan,
, bahan teknik listrik,
, bahan teknik mesin ebook,
, bangunan teknik sipil,teknik
, batin,
, bahan teknik elektro,teknik
, beladiri kungfu,
, bahan teknik pdf,
, bahan teknik ppt,
, bahan teknik industri download full,teknik
, beladiri wing chun,teknik
, bela diri muay thai,
, teknik civil,
, teknik.com,teknik
, komputer,
, teknik sipil.com,cabang
, teknik sipil,
, yang mempelajari cara/teknik pembuatan peta disebut,cabang
, teknik,
, yang mempelajari cara teknik pembuatan peta,cabang
, teknik mesin,cabang
, teknik industri,cabang
, teknik informatika,cabang
, teknik elektro,
, yang mempelajari cara teknik pembuatan peta adalah,cabang
, teknik kimia,
, yang mempelajari cara teknik pembuatan peta di sebut,cabang
, teknik lingkungan,
, dan teknik sebagai ciri perkembangan kebudayaan,cakupan
, teknik industri,
, yg mempelajari cara teknik pembuatan peta disebut,
, teknik digital,
, teknik dalam islam,
, dasar teknik sipil,
, dasar teknik informatika,
, dasar teknik mesin,
, dasar teknik industri,
, dasar teknik elektro,
, dasar teknik kimia,
, dasar teknik perminyakan,
, dan teknik lingkungan,
, dan teknik pangan,
, dan teknik kelautan ipb,
, dan teknik lingkungan unair,
, dasar teknik penerbangan,
, dasar teknik listrik,
, dasar teknik komputer,
, dasar teknik pertambangan,
, dasar teknik geologi,
, teknik elektronika,
, teknik elektromedik,
, teknik elektronik,
, ekonomi teknik,
, ekonomi teknik industri,belajar
, teknik elektro,rumpun
, teknik elektro,bidang
, teknik elektro,
, tentang teknik elektro,pohon
, teknik elektro,pengertian
, teknik elektro,disiplin
, teknik elektro,
, dasar teknik elektronika,pengertian
, ekonomi teknik,
, bahan listrik teknik elektro,
, teknik fisika,
, fisika teknik sipil,
, filsafat teknik,fakultas
, teknik kebumian itb,filsafat
, teknik sipil,fakultas
, teknik kebumian,filsafat
, teknik mesin,filsafat
, teknik informatika,fungsi
, teknik sipil,fakultas
, teknik sipil,
, teknik geodesi,
, teknik geologi,
, teknik geografi,
, teknik geofisika,
, teknik grafika,
, teknik gempa,teknik
, gendam,
, gaya teknik sipil,
, gaya teknik sipil 1,
, geologi teknik sipil,teknik
, gaib,
, dasar teknik geodesi,cabang
, teknik geografi,cabang
, teknik geologi,
, teknik sipil gedung,
, penunjang geografi teknik,pengertian
, geologi teknik,
, pendukung geografi teknik,
, ukur tanah teknik geodesi,
, teknik hipnotis,
, hidrolika teknik sipil,teknik
, hitam,
, hidrologi teknik sipil,teknik
, hukum,teknik
, hikmah,teknik
, hipnoterapi,sekolah
, teknik hayati,hubungan
, teknik sipil dengan agama islam,hubungan
, teknik industri dengan keselamatan kerja,
, teknik instalasi listrik,
, teknik informasi,
, teknik in vitro,
, teknik imformatika,teknik
, ilusi,
, inti teknik sipil,disiplin
, teknik industri,
, komputer teknik informatika,belajar
, teknik informatika,pengertian
, teknik industri,
, tentang teknik informatika,pengantar
, teknik industri,bidang
, teknik industri,
, teknik sipil indonesia,belajar
, teknik industri,
, teknik jaringan komputer,
, teknik jalan raya,
, teknik jaringan,
, jurusan teknik industri,
, teknik sipil jembatan,
, teknik sipil jalan,sekolah tinggi
, teknik jembrana,sekolah tinggi
, teknik jakarta,jurnal
, teknik,jurnal
, teknik unsri,
, dasar teknik komputer jaringan,jurusan
, teknik,jurusan
, teknik informatika,akreditasi sekolah tinggi
, teknik jembrana,jurusan
, teknik sipil,
, teknik kendaraan ringan,
, teknik komputer,
, teknik komunikasi,teknik
, kebal,
, kamasutra - teknik tusukan,teknik
, kebatinan,
, komputer/teknik informatika/teknologi informasi,teknik
, kanuragan,
, komputer/teknik informatika unud,
, komputer teknik informatika sistem informasi,teknik
, kontak,teknik
, komputasi,teknik
, kebumian,
, teknik mesin kapal,
, teknik listrik industri,
, lingkungan teknik sipil,
, lapangan teknik sipil,
, lingkungan teknik industri,
, dasar teknik lingkungan,
, teknik tenaga listrik,
, logam teknik mesin,pengertian
, teknik lingkungan,belajar
, teknik listrik,bidang
, teknik lingkungan,belajar
, teknik lingkungan,
, teknik mesin motor,
, teknik maintenance,
, teknik manufaktur,
, teknik material,
, teknik metalurgi,
, teknik mesin bubut,
, teknik mesin dalam islam,
, teknik mesin otomotif,
, teknik menjual,
, mekanika teknik,teknik
, meringankan tubuh,
, menggambar teknik,
, mekanika teknik sipil,teknik
, marketing,teknik
, menghilang,
, mempelajari teknik pembuatan peta,
, mantik teknik dasar berpikir logika,
, teknik nuklir,teknik
, ninja,
, teknik otomotif,
, teknik otomasi industri,
, dasar teknik otomotif,
, bahan teknik otomotif,
, teknik perpipaan download,
, teknik pengairan,
, teknik pertanian,
, teknik pelayaran,
, teknik pembuatan peta,
, teknik perkapalan,
, teknik pantai,
, teknik penerbangan,
, teknik pengelasan,
, teknik pemesinan,
, teknik pesawat udara,
, teknik pengeboran minyak,
, teknik pernafasan,
, teknik pesawat,
, teknik planologi,
, teknik produksi,
, teknik sipil dalam al quran,
, teknik reservoir,
, teknik sipil rab,rumpun
, teknik,rumpun
, teknik informatika,
, pengetahuan teknik dan rekayasa,rumus
, teknik sipil,rumpun
, teknik sipil,rumpun
, teknik mesin,rahasia
, teknik sipil,
, teknik sipil pengairan,
, teknik sipil jalan raya,
, teknik sipil dasar,
, teknik sepeda motor,
, teknik sipil bendungan,
, teknik sipil irigasi,
, teknik sipil dalam islam,
, teknik sipil bangunan,
, teknik sipil beton,
, teknik sipil pondasi,
, teknik sungai,
, teknik telekomunikasi,
, teknik tertua,
, teknik tambang,
, teknik transportasi,teknik
, tenaga dalam,
, tentang teknik sipil,
, tentang teknik industri,teknik
, terawangan,
, termodinamika teknik,
, tentang teknik mesin,
, tanah teknik sipil,teknik
, telepati,teknik
, terawang,
, tentang teknik komputer jaringan,
, tentang teknik,teknik
, totok,
, terapan teknik kimia,
, teknik untuk kebaikan manusia,teknik
, ukur tanah,makalah
, teknik untuk kebaikan manusia,
, teknik perundang-undangan,pusat studi
, teknik ugm,
, lingkungan untuk teknik sipil,
, dan teknik perundang undangan,
, ukur tanah untuk teknik sipil,alamat pusat studi
, teknik ugm,
, dan teknik pangan uns,
, dan teknik pangan usu,
, ukur teknik sipil,
, teknik sipil umum,
, komputer vs teknik informatika,
, komputer vs teknik komputer,
, komunikasi vs teknik informatika,
, komputer ui vs teknik informatika itb,
, kelautan vs teknik kelautan,sekolah tinggi
, teknik widya dharma,www.
, teknik sipil.com,teknik wawancara
, komunikasi,website
, teknik sipil,
, teknik sipil struktur,
, teknik sipil lapangan terbang,
, teknik sipil pelabuhan,
, teknik sipil arsitektur,
, teknik sipil dalam alquran,aplikasi
, teknik sipil,artikel
, teknik sipil,arti
, teknik sipil,artikel tentang
, teknik sipil,
, alamiah dasar teknik sipil,pengertian agregat dalam
, teknik sipil,alat berat dalam
, teknik sipil,manfaat
, teknik sipil bagi masyarakat,belajar
, teknik sipil,buku
, teknik sipil,bidang
, teknik sipil,blog
, teknik sipil,berbagi
, teknik sipil,
, bahan bangunan teknik sipil,belajar dasar
, teknik sipil,download buku
, teknik sipil,latar belakang
, teknik sipil,belajar tentang
, teknik sipil,
, kimia dalam bidang teknik sipil,buku
, gaya teknik sipil,
, sosial budaya dasar teknik sipil,
, kimia dengan bidang teknik sipil,cara belajar
, teknik sipil,cara menguasai
, teknik sipil,cara memahami
, teknik sipil,cara mempelajari
, teknik sipil,disiplin
, teknik sipil,definisi
, teknik sipil,download
, teknik sipil,
, dasar teknik sipil pdf,dasar2
, teknik sipil,
, dalam teknik sipil,dunia
, teknik sipil,istilah dalam
, teknik sipil,
, fisika dalam teknik sipil,materi dasar
, teknik sipil,
, kimia dalam teknik sipil,
, lingkungan dalam teknik sipil,
, yang dipelajari teknik sipil,ebook
, teknik sipil,free download ebook
, teknik sipil,pengantar
, teknik sipil gunadarma,gudang
, teknik sipil,garis pengaruh dalam
, teknik sipil,peranan geologi dalam
, teknik sipil,pengertian gradasi dalam
, teknik sipil,
, hidrologi dalam teknik sipil,
, teknik sipil indonesia itsi,
,-
, teknik sipil,apa itu
, teknik sipil,istilah-istilah
, teknik sipil,istilah2 dalam
, teknik sipil,
.jpg)
0 comments:
Post a Comment